高考大题专项练1 函数、不等式与导数 1.解:f'(x)=3x2-2ax+(a2-1), 其对应方程判别式Δ=4a2-12a2+12=12-8a2. ①若Δ=12-8a2=0,即a=±, 当x∈或x∈时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上是增加的. 所以a=±符合题意. ②若Δ=12-8a2<0,恒有f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上是增加的. 所以a2>, 即a∈. ③若Δ=12-8a2>0,即-<a<,令f'(x)=0, 解得x1=,x2=. 当x∈(-∞,x1)或x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)是增加的; 当x∈(x1,x2)时,f'(x)<0,f(x)是减少的. 依题意x1≥0且x2≤1. 由x1≥0得a≥, 解得1≤a<. 由x2≤1得≤3-a,解得-<a<. 从而a∈. 综上,a的取值范围为,即a∈∪[1,+∞). 2.解1) f'( x) =ae x-, 当f'(x)>0,即x>-ln a时,f(x)在(-ln a,+∞)上递增; 当f'(x)<0,即x<-ln a时,f(x)在(-∞,-ln a)上递减. ①当0<a<1时,-ln a>0,f(x)在(0,-ln a)上递减,在(-ln a,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(-ln a)=2+b; ②当a≥1时,-ln a≤0,f(x)在[0,+∞)上递增,从而f(x)在[0,+∞)上的最小值为f(0)=a++b. (2)依题意f'(2)=ae2-,解得ae2=2或ae2=-(舍去). 所以a=,代入原函数可得2++b=3,即b=. 故a=,b=. 3.解1) 由题知6 =ba,24 =ba3, 解得b=3, a=2, 即f( x) =3 ·2 x. (2)-m≥0在(-∞,1]上恒成立,即≥m在(-∞,1]上恒成立,
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