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高三年级数学期中复习试题

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发表于 2018-5-5 12:03:51 | 显示全部楼层 |阅读模式
  一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分..
  1.若复数的实部与虚部相等,则实数()A
  (A)
  (B)
  (C)
  (D)
  2.已知,猜想的表达式为().
  A.B.C.D.
  3.等比数列中,,则“”是“”的B
  (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件
  (C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件
  4.从甲、乙等名志愿者中选出名,分别从事,,,四项不同的工作,每人承担一项.若甲、乙二人均不能从事工作,则不同的工作分配方案共有B
  (A)种
  (B)种
  (C)种
  (D)种
  5.已知定义在上的函数的对称轴为,且当时,.若函数在区间()上有零点,则的值为A
  (A)或(B)或(C)或(D)或
  6.已知函数,其中.若对于任意的,都有,则的取值范围是D
  (A)
  (B)
  (C)
  (D)
  7.已知函数有且仅有两个不同的零点,,则B
  A.当时,,B.当时,,
  C.当时,,D.当时,,
  8.如图,正方体中,为底面
  上的动点,于,且,则点的
  轨迹是A
  (A)线段(B)圆弧
  (C)椭圆的一部分(D)抛物线的一部分
  第Ⅱ卷(非选择题共110分)
  二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.
  9.设等差数列的公差不为,其前项和是.若,,则______.5
  10.的展开式中的系数是.160
  11.设.若曲线与直线所围成封闭图形的面积为,则______.
  12.在直角坐标系中,点与点关于原点对称.点在抛物线上,且直线与的斜率之积等于,则______.
  13.数列的通项公式,前项和为,则___________。3018
  14.记实数中的*大数为,*小数为.设△
  的三边边长分别为,且,定义△的倾斜度为
  .
  (ⅰ)若△为等腰三角形,则______;1
  (ⅱ)设,则的取值范围是______.
  三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
  15.(本小题共14分)
  已知函数.
  (Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;
  (Ⅱ)讨论的单调性;
  (III)若存在*大值,且,求的取值范围.
  (18)(共14分)
  解:(Ⅰ)当时,.
  .
  所以.
  又,
  所以曲线在点处的切线方程是,
  即.
  (Ⅱ)函数的定义域为,
  .
  当时,由知恒成立,
  此时在区间上单调递减.
  当时,由知恒成立,
  此时在区间上单调递增.
  当时,由,得,由,得,
  此时在区间内单调递增,在区间内单调递减.
  (III)由(Ⅱ)知函数的定义域为,
  当或时,在区间上单调,此时函数无*大值.
  当时,在区间内单调递增,在区间内单调递减,
  所以当时函数有*大值.
  *大值.
  因为,所以有,解之得.
  所以的取值范围是.
  16.(本小题满分13分)
  已知函数的一个零点是.
  (Ⅰ)求实数的值;
  (Ⅱ)设,求的单调递增区间.
  (Ⅰ)解:依题意,得,………………1分
  即,………………3分
  解得.………………5分
  (Ⅱ)解:由(Ⅰ)得.………………6分
  ………………7分
  ………………8分
  ………………9分
  .………………10分
  由,
  得,.………………12分
  所以的单调递增区间为,.………………13分
  1
  17.(本小题满分13分)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1+b2+…+b10=145.
  (1)求数列{bn}的通项公式bn;
  (2)设数列{an}的通项an=loga(1+)(其中a>0且a≠1)记Sn是数列{an}的前n项和,试比较Sn与logabn+1的大小,并证明你的结论.
  (1)解:设数列{bn}的公差为d,由题意得,∴bn=3n-2
  (2)证明:由bn=3n-2知
  Sn=loga(1+1)+loga(1+)+…+loga(1+)
  =loga[(1+1)(1+)…(1+)]
  而logabn+1=loga,于是,比较Sn与logabn+1?的大小比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小.
  取n=1,有(1+1)=
  取n=2,有(1+1)(1+
  推测:(1+1)(1+)…(1+)>(*)
  ①当n=1时,已验证(*)式成立.
  ②假设n=k(k≥1)时(*)式成立,即(1+1)(1+)…(1+)>
  则当n=k+1时,
  ,即当n=k+1时,(*)式成立
  由①②知,(*)式对任意正整数n都成立.
  于是,当a>1时,Sn>logabn+1?,当0<a<1时,Sn<logabn+1?
  18.(本小题满分13分)
  已知函数,,其中.
  (Ⅰ)求的极值;
  (Ⅱ)若存在区间,使和在区间上具有相同的单调性,求的取值范围.
  18.(本小题满分13分)
  (Ⅰ)解:的定义域为,………………1分
  且.………………2分
  ①当时,,故在上单调递减.
  从而没有极大值,也没有极小值.………………3分
  ②当时,令,得.
  和的情况如下:
  ↘↗
  故的单调减区间为;单调增区间为.
  从而的极小值为;没有极大值.………………5分
  (Ⅱ)解:的定义域为,且.………………6分
  ③当时,显然,从而在上单调递增.
  由(Ⅰ)得,此时在上单调递增,符合题意.………………8分
  ④当时,在上单调递增,在上单调递减,不合题意.……9分
  ⑤当时,令,得.
  和的情况如下表:
  ↘↗
  当时,,此时在上单调递增,由于在上单调递减,不合题意.………………11分
  当时,,此时在上单调递减,由于在上单调递减,符合题意.
  综上,的取值范围是.………………13分
  19.(本小题满分14分)
  如图,椭圆的左焦点为,过点的直线交椭圆于,两点.当直线经过椭圆的一个顶点时,其倾斜角恰为.
  (Ⅰ)求该椭圆的离心率;
  (Ⅱ)设线段的中点为,的中垂线与轴和轴分别交于两点.记△的面积为,△(为原点)的面积为,求的取值范围.
  19.(本小题满分14分)
  (Ⅰ)解:依题意,当直线经过椭圆的顶点时,其倾斜角为.………………1分
  设,
  则.………………2分
  将代入,
  解得.………………3分
  所以椭圆的离心率为.………………4分
  (Ⅱ)解:由(Ⅰ),椭圆的方程可设为.………………5分
  设,.
  依题意,直线不能与轴垂直,故设直线的方程为,将其代入
  ,整理得.………………7分
  则,,.
  ………………8分
  因为,
  所以,.………………9分
  因为△∽△,
  所以………………11分
  .………………13分
  所以的取值范围是.………………14分
  (20)(本小题共13分)
  设是由个有序实数构成的一个数组,记作:.其中称为数组的“元”,称为的下标.如果数组中的每个“元”都是来自数组中不同下标的“元”,则称为的子数组.定义两个数组,的关系数为.
  (Ⅰ)若,,设是的含有两个“元”的子数组,求的*大值;
  (Ⅱ)若,,且,为的含有三个“元”的子数组,求的*大值.
  (20)(共13分)
  解:(Ⅰ)依据题意,当时,取得*大值为2.
  (Ⅱ)①当是中的“元”时,由于的三个“元”都相等,及中三个“元”的对称性,可以只计算的*大值,其中.
  由,
  得.
  当且仅当,且时,达到*大值,
  于是.
  ②当不是中的“元”时,计算的*大值,
  由于,
  所以.
  ,
  当且仅当时,等号成立.
  即当时,取得*大值,此时.
  综上所述,的*大值为1.
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