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2014高三数学下册期中试题(理科)

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发表于 2018-5-5 12:14:15 | 显示全部楼层 |阅读模式
以下是答案家为大家整理的关于《2014高三数学下册期中试题(理科)》,供大家学习参考!
2014高三数学下册期中试题(理科)
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)复数 在复平面内对应的点位于
(A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限
(2)已知集合 ,集合 ,则
(A) (B) (C) (D)
(3)已知平面向量 , 满足 , ,则 与 的夹角为
(A) (B) (C) (D)
(4)如图,设区域 ,向区域 内
随机投一点,且投入到区域内任一点都是等可能的,则点落
入到阴影区域 的概率为
(A) (B)
(C) (D)
(5)在 中, , ,则“ ”
是“ ”的
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件
(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件
(6)执行如图所示的程序框图,输出的S值为
(A) (B)
(C) (D)
(7)已知函数 .下列命题:
①函数 的图象关于原点对称; ②函数 是周期函数;
③当 时,函数 取最大值;④函数 的图象与函数 的图象没有公共点,其中正确命题的序号是
(A) ①③ (B)②③ (C) ①④ (D)②④
(8)直线 与圆 交于不同的两点 , ,且 ,其中 是坐标原点,则实数 的取值范围是
(A) (B)
(C) (D)
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡上.
(9)在各项均为正数的等比数列 中, , ,则该数列的前4项和
为 .
(10)在极坐标系中, 为曲线 上的点, 为曲线 上的点,则线段
长度的最小值是 .
(11)某三棱锥的三视图如图所示,则这个三棱锥的体积
为 ;表面积为 .
(12)双曲线 的一个焦点到其渐近线的距离是 ,则 ;
此双曲线的离心率为 .
(13)有标号分别为1,2,3的红色卡片3张,标号分别为1,2,3的
蓝色卡片3张,现将全部的6张卡片放在2行3列的格内
(如图).若颜色相同的卡片在同一行,则不同的放法种数
为 .(用数字作答)
(14)如图,在四棱锥 中, 底面 .底面 为梯形, , ∥ , , .若点 是线段 上的动点,则满足 的点 的个数是 .
三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
(15)(本小题满分13分)
已知函数 , .
(Ⅰ)求 的值及函数 的最小正周期;
(Ⅱ)求函数 在 上的单调减区间.
(16)(本小题满分13分)
某单位从一所学校招收某类特殊人才.对 位已经选拔入围的学生进行运动协调能力和逻辑思维能力的测试,其测试结果如下表:
一般 良好 优秀
一般
良好
优秀
例如,表中运动协调能力良好且逻辑思维能力一般的学生有 人.由于部分数据丢失,只知道从这 位参加测试的学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生的概率为 .
(I)求 , 的值;
(II)从参加测试的 位学生中任意抽取 位,求其中至少有一位运动协调能力或逻辑思
维能力优秀的学生的概率;
(III)从参加测试的 位学生中任意抽取 位,设运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学
生人数为 ,求随机变量 的分布列及其数学期望 .
(17)(本小题满分14分)
如图,四棱锥 的底面为正方形,侧面 底面 . 为等腰直角三角形,且 . , 分别为底边 和侧棱 的中点.
(Ⅰ)求证: ∥平面 ;
(Ⅱ)求证: 平面 ;
(Ⅲ)求二面角 的余弦值.
(18)(本小题满分13分)
已知函数 , .
(Ⅰ)求函数 的单调区间;
(Ⅱ)若函数 在区间 的最小值为 ,求 的值.
(19)(本小题满分14分)
已知椭圆 经过点 ,离心率为 .(Ⅰ)求椭圆 的方程;
(Ⅱ)直线 与椭圆 交于 两点,点 是椭圆 的右顶点.直线 与直线 分别与 轴交于点 ,试问以线段 为直径的圆是否过 轴上的定点?若是,求出定点坐标;若不是,说明理由.
(20)(本小题满分13分)
从 中这 个数中取 ( , )个数组成递增等差数列,所有可能的递增等差数列的个数记为 .
(Ⅰ)当 时,写出所有可能的递增等差数列及 的值;
(Ⅱ)求 ;
(Ⅲ)求证: .
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学答案(理工类) 2014.3
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B A B A B D C D
二、填空题
题号 9 10 11 12 13 14
答案
2
2
三、解答题
15. (本小题满分13分)
解:
.
(Ⅰ) .
显然,函数 的最小正周期为 . …………… 8分
(Ⅱ)令 得
, .
又因为 ,所以 .
函数 在 上的单调减区间为 . …………… 13分
16. (本小题满分13分)
解:(I)设事件 :从 位学生中随机抽取一位,抽到运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.
由题意可知,运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生共有 人.
则 .
解得 .
所以 . …………… 4分
(II)设事件 :从 人中任意抽取 人,至少有一位运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生.
由题意可知,至少有一项能力测试优秀的学生共有 人.
则 . …………… 7分
(III) 的可能取值为 , , .
位学生中运动协调能力或逻辑思维能力优秀的学生人数为 人.
所以 ,

.
所以 的分布列为
0 1 2
所以, . …………… 13分
17. (本小题满分14分)
(Ⅰ)证明:取 的中点 ,连接 , .
因为 , 分别是 , 的中点,
所以 是△ 的中位线.
所以 ∥ ,且 .
又因为 是 的中点,且底面 为正方形,
所以 ,且 ∥ .
所以 ∥ ,且 .
所以四边形 是平行四边形.
所以 ∥ .
又 平面 , 平面 ,
所以 平面 . ……………4分
(Ⅱ)证明: 因为平面 平面 ,
,且平面 平面 ,
所以 平面 .
所以 , .
又因为 为正方形,所以 ,
所以 两两垂直.
以点 为原点,分别以 为 轴,
建立空间直角坐标系(如图).
由题意易知 ,
设 ,则
, , , , , , .
因为 , , ,
且 ,
所以 , .
又因为 , 相交于 ,所以 平面 . …………… 9分
(Ⅲ)易得 , .
设平面 的法向量为 ,则
所以 即
令 ,则 .
由(Ⅱ)可知平面 的法向量是 ,
所以 .
由图可知,二面角 的大小为锐角,
所以二面角 的余弦值为 . ……………14分
18. (本小题满分13分)
解:函数 的定义域是 , .
(Ⅰ)(1)当 时, ,故函数 在 上单调递减.
(2)当 时, 恒成立,所以函数 在 上单调递减.
(3)当 时,令 ,又因为 ,解得 .
①当 时, ,所以函数 在 单调递减.
②当 时, ,所以函数 在 单调递增.
综上所述,当 时,函数 的单调减区间是 ,
当 时,函数 的单调减区间是 ,单调增区间为 .…7分
(Ⅱ)(1)当 时,由(Ⅰ)可知, 在 上单调递减,
所以 的最小值为 ,解得 ,舍去.
(2)当 时,由(Ⅰ)可知,
①当 ,即 时,函数 在 上单调递增,
所以函数 的最小值为 ,解得 .
②当 ,即 时,函数 在 上单调递减,
在 上单调递增,所以函数 的最小值为 ,
解得 ,舍去.
③当 ,即 时,函数 在 上单调递减,
所以函数 的最小值为 ,得 ,舍去.
综上所述, . ……………13分
19. (本小题满分14分)
解:(Ⅰ)由题意得 ,解得 , .
所以椭圆 的方程是 . …………… 4分
(Ⅱ)以线段 为直径的圆过 轴上的定点.
由 得 .
设 ,则有 , .
又因为点 是椭圆 的右顶点,所以点 .
由题意可知直线 的方程为 ,故点 .直线 的方程为 ,故点 .
若以线段 为直径的圆过 轴上的定点 ,则等价于 恒成立.
又因为 , ,
所以 恒成立.
又因为

所以 .
解得 .
故以线段 为直径的圆过 轴上的定点 . …………… 14分
20. (本小题满分13分)
解:(Ⅰ)符合要求的递增等差数列为1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4个.
所以 . …………… 3分
(Ⅱ)设满足条件的一个等差数列首项为 ,公差为 , .
, , 的可能取值为 .
对于给定的 , , 当 分别取 时,可得递增等差数列 个(如: 时, ,当 分别取 时,可得递增等差数列91个: ; ; ; ,其它同理).
所以当 取 时,可得符合要求的等差数列的个数为:
.…………… 8分
(Ⅲ)设等差数列首项为 ,公差为 ,
记 的整数部分是 ,则 ,即 .
的可能取值为 ,
对于给定的 , ,当 分别取 时,可得递增等差数列 个.
所以当 取 时,得符合要求的等差数列的个数
易证 .
又因为 , ,
所以 .
所以
.
即 . …………… 13分
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