指数函数、幂函数、对数函数增长的比较_高三总复习

liang183

从图中可以观察出，y＝2x与y＝x2有两个交点：(2,4)和(4,16)，当0＜x＜2时，2x＞x2；当2＜x＜4时，2x＜x2；当x＞4时，2x＞x2恒成立，即y＝2x比y＝x2增长得快；而在(0，＋∞)上，总有x2＞log2x，即y＝x2比y＝log2x增长得快．

由此可见，在(0,2)和(4，＋∞)上，总有2x＞x2＞log2x，即y＝2x增长得最快；在(2,4)上，总有x2＞2x＞log2x，即y＝x2增长得最快．

(3)一般的指数函数、幂函数、对数函数增长的比较

改变指数函数、对数函数的底数和幂函数的指数，重新作图，观察图像会发现这三种函数的增长情况具有一定的规律性．

一般地，对于指数函数y＝ax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论a比n小多少，尽管在x的一定范围内，ax会小于xn，但由于ax的增长快于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有ax＞xn；

同样的，对于对数函数y＝logax(a＞1)和幂函数y＝xn(n＞0)，随着x的增大，logax增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样，尽管在x的一定区间内，logax可能会大于xn，但由于logax的增长慢于xn的增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn.

综上所述，尽管函数y＝ax(a＞1)，y＝logax(a＞1)和y＝xn(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝ax(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(x＞0)的增长速度，而y＝logax(a＞1)的增长速度则会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有logax＜xn＜ax.

由于指数函数值增长非常快，人们常称这种现象为“指数爆炸”．

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